       Всероссийский фестиваль педагогического творчества
(2014/15 учебный год)
Номинация: Проектная и творческая деятельность учащихся
Название работы: «Различные способы разложения
многочлена на множители»
Автор: Волкова Лилия , 8 класс, руководитель Кудашева Ольга Алексеевна
Место выполнения работы:
ГБОУ СОШ «ОЦ» с. Старая Шентала
муниципального района Шенталинский
Самарской области
Содержание
1. Введение
2. Основная часть
2.1 Основные понятия
2.2 Методы разложения многочленов на множители
2.2.1 Вынесение общего множителя за скобки 2.2.2 Использование формул сокращенного умножения 2.2.3 Способ группировки
2.2.4 Выделение полного квадрата из квадратного трехчлена
2.2.5 Деление многочлена на многочлен
(деление многочлена на двучлен углом)
2.2.6 Метод (Бином Ньютона)
3. Практическая часть
3.1 Практическая значимость разложения многочлена на множители
3.2 Применение различных способов разложения на множители
к решению задач
4. Вывод по исследованию
5. Список литературы
6. Приложение « Банк заданий»
1. Введение
Математика – удивительный мир! Мы никогда не перестанем удивляться, какие интересные задания может задавать нам эта наука!
В октябре месяце ученики школы принимали участие в школьном туре олимпиады по математике. Задания были разные, интересные, требующие рассуждений, выстраивания логической цепочки, внимательности. Среди заданий было и такое: х4 +х2 =1.
Для его решения необходимо разложить левую часть на множители. Здесь я и столкнулась с проблемой.
Мы изучали в 7 и 8 классе тему «Разложение многочлена на множители». Рассматривали основные способы. Но такого задания, которое досталось на олимпиаде, нам раньше не встречалось. Подумав и скомбинировав изученные способы разложения многочлена на множители, задание я выполнила. Появился интерес к таким заданиям.
Актуальность исследования. Для решения многих задач, заданий в математике разработаны общие правила - алгоритмы. Решение таких задач особых трудностей не вызывает – надо лишь распознать вид данной задачи и вспомнить соответствующее правило. Значительно труднее решать задачи, для которых в математике нет готовых правил. При разложении многочлена на множители зачастую приходится самостоятельно отыскивать те или иные приемы, как это случилось на олимпиаде.
В своей работе я рассмотрю различные способы разложения многочлена на множители, которые лежат за страницами нашего учебника. Работа называется «Различные способы разложения многочлена на множители»
Эта тема заинтересовала меня тем, что с помощью разложения на множители можно приводить дроби к общему знаменателю, применять разложение многочленов на множители при сокращении дробей, при решении уравнений, рационально вычислять значения числовых выражений, доказывать неравенства, делить выражения на какое-либо число, сравнивать числа.
Объект исследования: многочлены.
Предмет исследования: способы разложения многочлена на множители.
Цель работы: исследовать различные способы разложения многочленов на множители.
Задачи:
- рассмотреть начальные сведения о многочленах;
- рассмотреть традиционные школьные способы разложения;
- рассмотреть способы, которые не изучаются в школе;
- исследовать, насколько разнообразными могут быть задачи на применение разложения многочлена на множители;
- сделать подборку заданий для применения каждого из рассмотренных способов.
Гипотеза исследования: Рассмотренные способы разложения многочлена на множители позволят рационально решать многие алгебраические задания.
Практическая значимость работы.
Настоящая работа будет полезна при обучении в старших классах, при подготовке к экзаменам, олимпиадам, так как при решении задач на разложение развивается логическое мышление. Материал работы может заинтересовать тех, кто увлекается математикой и желает расширить свой кругозор. Подборка заданий, презентация может использоваться учителем математики на факультативных занятиях.
Новизна исследования: исследованием способов разложения многочлена на множители, которые не изучаются в 8 классе, ранее не занимались.
Методы исследования:
- поисковый
- аналитический
-сравнение и обобщение
2. Основная часть
2.1 Основные понятия
Многочлен – алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов. По латыни многочлен называют полином.
Например, Зх2 у - 5xy2 + х - у – многочлен. (а - с)4 и  многочленами не являются.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена или мономами.
Если многочлен содержит два слагаемых - одночлена, то его называют двучленом или биномом (12а3 - 64), три слагаемых – трехчленом или триномом (12а3 - 64а2 + 7а) и т.д., одночлен или моном - многочлен, состоящий из одного члена (3х2, 5bd).
Среди членов многочлена могут быть подобные. Они имеют одну и ту же буквенную часть, отличающиеся друг от друга лишь коэффициентами.
В многочлене 5а2b + 2 + 4ab2 – 3a2b - 7 члены 5а2b и – 3a2b являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены 2 и -7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене – приведением подобных членов многочлена.
Приведём подобные члены в многочлене
5а2b + 2 + 4ab2 – 3a2b – 7.
Имеем 5а2b + 2 + 4ab2 – 3a2b - 7 = (5а2b – 3a2b) + 4ab2 + (2 -7)= 2a2b +4ab2-5.
Каждый член многочлена 2a2b +4ab2-5 является одночленом стандартного вида. И этот многочлен не содержит подобных членов. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.
Итак, любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные члены.
Членами многочлена стандартного вида 8xy + 6x2y3 – 9 служат одночлены второй, пятой и нулевой степеней. Наибольшую их этих степеней называют степенью многочлена. Многочлен 8xy + 6x2y3 – 9 является многочленом пятой степени.
Таким образом, степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящего в них одночлена. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
Выясним, какова степень многочлена
3a4 + 8ab – 2a4 – a4 + 5b.
Для этого приведём его к стандартному виду:
3a4 + 8ab – 2a4 – a4 + 5b = 8ab + 5b.
Степень многочлена 8ab + 5b равна 2, поэтому степень многочлена
3a4 + 8ab – 2a4 – a4 + 5b также равна 2.
Многочлен первой степени называют линейным многочленом, многочлен второй степени - квадратным, а многочлен третьей степени - кубиче ским многочленом.
Если степени всех членов многочлена одинаковы, то этот многочлен называют однородным. Например с4 + 2с3у – 6с2у2 + Зу4 - однородный многочлен степени 4. Любое число, и даже нуль, является многочленом.
Если имеем многочлен Рп(х) относительно одной переменной х и он записан в порядке убывания степеней, то такой многочлен имеет канонический вид.
2.2 Методы разложения многочленов на множители
Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих сомножителей.
Разложение многочлена на множители – это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов
Существует несколько способов разложения многочлена на множители, которые мы изучаем в школе:
вынесение множителя за скобку;
использование формул сокращённого умножения;
способ группировки.
|
