Урок алгебры в 10 классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней»

227-275-197 Преподавание математики.
Урок алгебры в 10 классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней».
Учитель математики МБОУ СОШ №6 г. Железнодорожного Московской области Лодина Виолетта Сергеевна.

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной. Дана историческая справка исследования уравнений высших степеней. Представлена презентация урока.

Метод разложения на множители.

				…
		=	=	…		0

Этот метод основан на применении теоремы Безу. Если число

является корнем многочлена

степени n, то его можно представить в виде

, где Q(x)-многочлен степени (n-1).Теорема Безу: “Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен

равен

, т.е. значению многочлена при

” Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения Р(х)=0 степени n, то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1), понизить степень уравнения. Теорема. Пусть несократимая дробь

является корнем уравнения

с целыми коэффициентами, тогда число p – является делителем свободного члена

, а q делителем старшего коэффициента

. У многочлена с целыми коэффициентами целые корни являются делителями свободного члена. Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители, т.е. разделить P(x) на (

“углом” или по схеме Горнера. Схема Горнера

-корень многочлена.

Пример №1.

Решение. Выпишем делители свободного члена

Понизим степень уравнения делением многочленов в столбик «углом»

4

Разложим на множители

Ответ

Решить самостоятельно.

Пример № 2

Пример № 3

Понижение степени по схеме Горнера.

Пример №4

Решение. Найдем делители свободного члена

	1	3	-24	17	3
1	1	4	-20	-3	0
3	1	7	1	0

Разложим на множители

Пример №5

	1	-1	-8	14	1	-13	6
1	1	0	-8	6	7	-6	0
-1	1	-1	-7	13	-6	0
2	1	1	-5	3	0
-3	1	-2	1	0

Разложим на множители

Ответ

Пример№6 2х⁴ – 7х³ – 3х² + 5х – 1 = 0, p = ± 1, q = 1;2

= ± 1; ± 2; ±

	2	-7	-3	5	-1
1	2	-5	-8	-3	-4	не корень
-1	2	-9	6	-1	0
0,5	2	-8	2	0

(х + 1)(х – 0,5)(2х² – 8х + 2) = 0

х² – 4х + 1 = 0 D/4 = 4 – 1 = 3 x = 2 ±

Решить самостоятельно.

Пример №7

Пример №8

Замена переменной.

Пример №9

Введём замену

1.Возвратные уравнения

- Возвратное симметричное, если

и т.д. 1)Для нечетных возвратных многочленов справедлива теорема: “ Всякий возвратный многочлен нечетной степени имеет корнем х=-1. Затем схема Горнера.
2)Возвратное уравнение 4-й степени

Делим на

Получим замену

Пример №10

Делим на

, получим

Решить самостоятельно.

Пример №11

Пример №12 12

2.Однородные уравнения.

Делим на

, получим замену

Пример №13

Делим на

, получим

2

Решить самостоятельно.

Пример №14

3.Уравнения

Если выполняется одно из условий

, то выполняется замена переменной.

Пример №15

2+1=-3+6

Решить самостоятельно. Пример №16

4.Уравнения

, приводим к замене

Делим числитель и знаменатель на х

,

Пример №17

, 2

Решить самостоятельно. Пример №18

5.Биномиальные уравнения

, замена

, получим

. Применяем формулу бинома Ньютона

Пример №19

Решить самостоятельно. Пример №20

Домашнее задание

Пример № 2

Пример № 3

Пример №7

Пример №8

Пример №11

Пример №12 12

Пример №14

Пример №16

Пример №18

Пример №20

Историческая справка

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Индийский ученый Брахмагупта (VIIв) – правило решений квадратных уравнений.
После трудов Нидерландского математика А.Жирара (1595-1632г.), а также Декарта и Ньютона способ решений квадратных уравнений принял современный вид.
Ф. Виетт (1591г.) – зависимость корней от коэффициента.

КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ х³+рх +q = 0

Сципион Даль Ферро (1465-1526г.) и его ученик Фиори.
Н. Тарталья (1499-1557г.) – не опубликовал своих трудов.
Д. Кардано (1501-1576г.), «Великое искусство, или о правилах алгебры» - узнал об открытии Тартальи.

Формула корней кубического уравнения (формула Кардано)

х³+х - 1 = 0

р=1 q= -1

УРАВНЕНИЯ 3-й и 4-й СТЕПЕНИ

Ученик Кардано Л.Феррари (1522-1567г.)-метод решения уравнения степени.
Р.Бомбелли (1530-1572г.)- полное исследование кубических уравнений.
Ф.Виет (1540-1603г.)- полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений и степени.

УРАВНЕНИЯ 5-й СТЕПЕНИ

Норвежский математик Н. Абель (1802-1829г.)- доказал, что в общем случае корни уравнений степени и более высоких степеней не могут быть выражены через радикалы.
Французский математик Э. Галуа (1811-1832г.) выделил класс алгебраических уравнений, которые разрешены в радикалах.

Поделиться в соцсетях

Похожие:

	Урок алгебры в 9 классе по теме: «Подготовка к гиа по математике-... Основной способ проведения урока – урок сочетания различных форм занятий, включает в себя также практическое занятие с открытым выходом...		Всероссийский интернет-конкурс педагогического творчества Название работы: Урок алгебры в 7 классе «Функции у = х2, у = х3 и их графики. Графический способ решения уравнений»
	Урок по математике в 5 классе по теме Образовательные систематизация и обобщение знаний учащихся по теме «Умножение и деление натуральных чисел»; применение свойств умножения...		Конспект урока алгебры в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений» Образовательные: систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать...
	Урок алгебры в 9 классе по теме «Примеры комбинаторных задач» Воспитывать умение выделять наиболее существенные моменты при выборе способа решения задачи		Рабочая программа элективного курса: «Нестандартные способы решения...
	Урок по теме: «Умножение и деление степеней» Педагогическая цель: •ученик научится различать свойства умножения и деления степеней с натуральным показателем; применять эти свойства...		Каждый ученик знает методы решения квадратных уравнений и умеет применять... Работать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений, расширить и углубить представления учащихся о решении...
	Урок алгебры в 7 классе по теме «Определение степени с натуральным показателем» Урок алгебры в 7 классе по теме: «Определение степени с натуральным показателем»		Урока алгебры в 8 классе по теме «Линейное уравнение с двумя переменными» Цель урока: организовать деятельность учащихся по изучению линейного уравнения с двумя переменными и его графика, развивать умение...

Алгебра