Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Международный государственный экологический
университет имени А. Д. Сахарова»
Факультет мониторинга окружающей среды
Кафедра физики и высшей математики
А. В. Смирнов
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
(математический анализ)
Учебно-методическое пособие
для студентов заочной формы обучения
Минск
2007
УДК 517(075.8)
ББК 22.11я73
С50
Рекомендовано к изданию научно-методическим советом
МГЭУ им. А. Д. Сахарова (протокол № 9 от 20 июня 2006 г.).
Автор:
доцент кафедры физики и высшей математики
МГЭУ им. А. Д. Сахарова А. В. Смирнов.
Рецензенты:
профессор Белорусского государственного технологического университета, доктор физико-математических наук А. К.Сойка;
заведующий кафедрой экологических
информационных систем МГЭУ им. А. Д. Сахарова,
кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Иванюкович.
Смирнов, А. В.
С50 Высшая математика (математический анализ) : учеб.-метод. пособие для студентов заочной формы обучения / А. В. Смирнов. – Минск : МГЭУ им. А. Д. Сахарова, 2007. – 67 с.
ISBN 978-985-6823-31-5.
Данное пособие является частью общей учебной программы по курсу математического анализа для студентов заочной формы обучения МГЭУ им. А. Д. Сахарова. Оно содержит краткое изложение основных положений по теоретической части данного курса, условия задач для двух контрольных работ, методические указания к выполнению этих работ и правила их оформления.
УДК 517(075.8)
ББК 22.11я73
ISBN 978-985-6823-31-5 Учреждение образования
«Международный государственный
экологический университет
имени А. Д. Сахарова», 2007
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное пособие является частью общей учебной программы по курсу математического анализа для студентов заочной формы обучения МГЭУ им. А. Д. Сахарова. Оно содержит краткое изложение основных положений по теоретической части данного курса, условия задач для двух контрольных работ, методические указания к выполнению этих работ и правила их оформления.
В конце наименования каждого подраздела первой (теоретической) части положения Вы найдете ссылки на литературные источники, в которых подробно излагаются рассматриваемые вопросы. В конце первой части даются список рекомендуемой литературы и контрольные вопросы для самостоятельного изучения.
Каждая контрольная работа состоит из десяти вариантов, а также варианта «К» с подробным решением задач данного типа.
Контрольная работа № 1 включает задачи, относящиеся к функции одной переменной (нахождение области определения, построение графиков), теории пределов, дифференциальному и интегральному исчислению (неопределенный интеграл). В контрольной работе № 2 предлагаются задачи по интегральному исчислению (определенный и несобственный интегралы), числовым и степенным рядам, функциям нескольких переменных, а также кратным интегралам.
I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КУРСА
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
(МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ) 1.1. Функции одной переменной ([1], т. 1, гл. 2, 4; [2], § 1–4; [3], гл. 1; [4], гл. 1)
Если каждому числу х из множества Х ( ) по определенному закону поставлено в соответствие единственное число у из множества ( ), то говорят, что на множестве Х задана функция . При этом величину у называют зависимой переменной, а величину х – независимой переменной, или аргументом. Множество Х называют областью определения функции и обозначают через , а множество чисел объединяют в множество Y и называют множеством значений функции, обозначая через .
Функция называется четной, если соблюдается равенство , и нечетной, если .
Функция называется периодической с периодом T, если , где n – целые положительные и отрицательные числа .
Основные элементарные функции
1. Алгебраические функции:
а) многочлены: , где n – целое положительное число – коэффициенты, которые могут быть любыми действительными числами;
б) рациональная функция – это отношение многочленов
.
2. Трансцендентные функции:
а) степенная: , где – любые действительные числа
б) показательная: , где а > 0 и а ≠ 1;
в) логарифмическая: y = , где а > 0 и а ≠ 1;
г) тригонометрические: y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x, y = sec x, y = cosec x;
д) обратные тригонометрические: y = arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arcctg x; y = arcsec x, arccosec x;
е) гиперболические: ; ;
, где е = 2,7182…;
ж) обратные гиперболические: y = Arsh x; y = Arch x; y = Arth x.
Графиком функции называется геометрическое место точек, абсциссы которых являются значениями независимой переменной х, а ординаты – соответствующими значениями функции у.
Если известен график функции y = f(x), то можно построить графики следующих функций:
1) y = f (x–a) получается из графика функции y = f(x) сдвигом вдоль оси Ох на единиц вправо (если а > 0) или влево (если а < 0);
2) y = f (x) + b получается из графика функции y = f(x) сдвигом вдоль оси Оy на единиц вверх (если b > 0) или вниз (если b < 0);
3) получается из графика функции y = f(x) в результате сжатия в раз его ординат (при 0 < с < 1) или их растяжения в c раз (при );
4) получается из графика функции y = f(x) в результате увеличения в раз абсцисс его точек (при 0 < k < 1) или их уменьшения в k раз (при ) с сохранениям ординат;
5) – график совпадает с графиком функции y = f(x) для и является симметричным отображением относительно оси Оу для ;
6) – график совпадает с графиком функции y = f(x), если и является симметричным отображением относительно оси Ох для .
|
