Методические рекомендации для выполнения самостоятельной работы по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

al.na5bal.ru > Документы > Методические рекомендации

Министерство образования Красноярского края

краевое государственное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

«Красноярский аграрный техникум»

Методические рекомендации для выполнения самостоятельной работы

по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для I курсов

специальностей «Агрономия», «Зоотехния»,

«Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Составил: преподаватель

Григорьева Татьяна Леонидовна

Красноярск 2015

Содержание

Аннотация	3
Раздел 1 Элементы линейной алгебры	4
1.1 Матрица, виды матриц. Операции над матрицами. Элементы матрицы. Обратная матрица	4
1.2 Решение систем линейных уравнений	9
1.3 Задания для практической работы № 1	11
1.4 Задания для практической работы № 2	14
1.5 Задания для практической работы № 3	16
Раздел 2. Элементы векторной теории	19
2.1 Прямая линия и её уравнения	19
2.2 Задание для практической работы № 4	21
Приложение 1	22
Список литературы	23

Аннотация
Данные методические рекомендации содержат лекционный материал курса «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для студентов первых курсов очного отделения специальностей «Агрономия», «Зоотехния», «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта».

В пособии особое внимание уделяется практическим задачам таких разделов математики как: «Элементы линейной алгебры», «Элементы векторной теории».

Работа оформляется в отдельной тетради с титульным листом (см. приложение 1).

Раздел 1 Элементы линейной алгебры
1.1 Матрица, виды матриц. Операции над матрицами. Элементы матрицы. Обратная матрица
Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.

a_ij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.

Основные виды матрицы:

квадратная (это матрица с равным числом столбцов и строк);
транспонированная (можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A размера при этом преобразовании станет матрицей A^T размерностью );
единичная (квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные равны нулю)

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк);
в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы).

Рассмотрим операции над матрицами более подробно.

1. Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

2. Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

3. Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения

) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго

(умножение строки на столбец).

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность

, матрица B —

, то размерность их произведения AB = C есть

. Смотри рис.1.

Рисунок 1 - Правило умножения двух матриц

Пример 1: Найти А+2В, если

.

Решение:

Пример 2: Найти

, если

Решение:

Пример 3: Решить матричное уравнение:

Решение:

Определение: Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или ΔA.

Формула для вычисление определителя второго порядка:

Формулы для вычисление определителя третьего порядка:

а) разложение по элементам первой строке:

= a₁₁a₂₂a₃₃ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁;

б) по правилу «звездочки» (или Саррюса)

$c:\documents and settings\габдрахманова ася\мои документы\мои рисунки\пр звезды.jpg$
Основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании.

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число.

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен нулю.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на —1.

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Определение 8. Минором, соответствующим данному элементу a_ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a_ij будем обозначать M_ij.

Пример 4: минором M₁₂, соответствующим элементу a₁₂, будет определитель

, который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, умноженный на (–1)^i+j. Алгебраическое дополнение элемента a_ij обозначается A_ij.

Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A_ij = (–1)^i+jM_ij.

Например,

Пример 5: Дан определитель

. Найти A₁₃, A₂₁, A₃₂.

Решение:

Определение. Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условию

. (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел). Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

1. Найти определитель матрицы A.

2. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице.

3. Найти алгебраические дополнения A_ij всех элементов матрицы A^Т и составить матрицу, элементами которой являются числа A_ij.

4. Умножить матрицу, полученную в пункте 3 на

Пример 6: Найти обратную матрицу А^-1, если

и выполнить проверку.

Решение:

, аналогично

. Для проверки используется формула:

, где

.
1.2 Решение систем линейных уравнений

Дана система:

1. Метод Гаусса. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы, и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

перестановка строк или столбцов;
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другие строки.

2. Матричный метод. Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов:

получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B

Пример 7: Решить систему методом Гаусса.

решая систему с конца, получим z=1, y=1, x=1

Пример 8: Решить систему методом обратной матрицы

$c:\documents and settings\admin\мои документы\мои рисунки\matrica.jpg$

1.3 Задания для практической работы № 1

Вариант 1

1) Найти произведение матриц АС (матрицу С взять из задания 2)

2) Даны матрицы:

Решить матричное уравнение

Вариант 2

1) Найти произведение матриц АС (матрицу С взять из задания 2)

2) Даны матрицы:

Решить матричное уравнение

Вариант 3

1) Найти произведение матриц АС (матрицу С взять из задания 2)

2) Даны матрицы:

Решить матричное уравнение

Вариант 4

1) Найти произведение матриц АС (матрицу С взять из задания 2)

2) Даны матрицы:

Решить матричное уравнение

Вариант 5

1) Найти произведение матриц АС (матрицу С взять из задания 2)

2) Даны матрицы:

Решить матричное уравнение

Вариант 6

1) Найти произведение матриц АС (матрицу С взять из задания 2)

2) Даны матрицы:

Решить матричное уравнение

Вариант 7

1) Найти произведение матриц АС (матрицу С взять из задания 2)

2) Даны матрицы:

Решить матричное уравнение

Вариант 8

1) Найти произведение матриц АС (матрицу С взять из задания 2)

2) Даны матрицы:

Решить матричное уравнение

Вариант 9

1) Найти произведение матриц АС (матрицу С взять из задания 2)

2) Даны матрицы:

Решить матричное уравнение

Вариант 10

1) Найти произведение матриц АС (матрицу С взять из задания 2)

2) Даны матрицы:

Решить матричное уравнение

1.4 Задания для практической работы № 2

Вариант 1

1) Вычислить определитель

2) Найти обратную

матрицу и выполнить проверку

Вариант 2

1) Вычислить определитель

2) Найти обратную

матрицу и выполнить проверку

Вариант 3

1) Вычислить определитель

2) Найти обратную

матрицу и выполнить проверку

Вариант 4

1) Вычислить определитель

2) Найти обратную

матрицу и выполнить проверку

Вариант 5

1) Вычислить определитель

2) Найти обратную

матрицу и выполнить проверку

Вариант 6

1) Вычислить определитель

2) Найти обратную

матрицу и выполнить проверку

Вариант 7

1) Вычислить определитель

2) Найти обратную

матрицу и выполнить проверку

Вариант 8

1) Вычислить определитель

2) Найти обратную

матрицу и выполнить проверку

Вариант 9

1) Вычислить определитель

2) Найти обратную

матрицу и выполнить проверку

Вариант 10

1) Вычислить определитель

2) Найти обратную

матрицу и выполнить проверку

1.5 Задания для практической работы № 3

Вариант 1

1) Решить систему, применяя формулы Крамера.

2) Решить систему методом Гаусса.

Вариант 2

1) Решить систему, применяя формулы Крамера.

2) Решить систему методом Гаусса.

Вариант 3

1) Решить систему, применяя формулы Крамера.

2) Решить систему методом Гаусса.

Вариант 4

1) Решить систему, применяя формулы Крамера.

2) Решить систему методом Гаусса.

Вариант 5

1) Решить систему, применяя формулы Крамера.

2) Решить систему методом Гаусса.

Вариант 6

1) Решить систему, применяя формулы Крамера.

2) Решить систему методом Гаусса.

Вариант 7

1) Решить систему, применяя формулы Крамера.

2) Решить систему методом Гаусса.

Вариант 8

1) Решить систему, применяя формулы Крамера.

2) Решить систему методом Гаусса.

Вариант 9

1) Решить систему, применяя формулы Крамера.

2) Решить систему методом Гаусса.

Вариант 10

1) Решить систему, применяя формулы Крамера.

2) Решить систему методом Гаусса.

Раздел 2. Элементы векторной теории
2.1 Прямая линия и её уравнения
Общее уравнение прямой: Аx+Вy+С=0

Векторное уравнение прямой: А(x-x₀)+В(y-y₀)+С=0

Каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой в отрезках:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b, k=tgα=y₀/x₀

y-y₀=k(x-x₀)

Уравнение прямой проходящей через две точки:

Угол между двумя прямыми:

Условие параллельности двух прямых:

Условие перпендикулярности двух прямых:

Расстояние d от точки М₀ (x₀;y₀) до прямой Аx+Вy+С=0:

Пример: Даны вершины треугольника A(3;4), B(6;2), C(3;1/2). Составить: 1) уравнение стороны AB; 2) длину высоты треугольника, проведенной из вершины C; 3) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно прямой AB; 4) внутренний угол B.

Решение: Сделаем чертеж (Рис. 2)

$c:\documents and settings\admin\рабочий стол\чертеж.jpg$

Рисунок 2 – Чертеж задачи

1) По формуле:

; AB:

=> -2(x-3)=3(y-4) => -2x+6=3y-12 => -2x-3y+18=0

2) Проведем высоту CD. Длина отрезка CD – расстояние от точки C до прямой AB, так как CD ┴ AB => по формуле

, где (

- координаты точки C, а коэффициенты A, B, C – из уравнения прямой AB.

3) Проведем прямую KC ║ AB. Из уравнения AB выразим y и найдем K₁.

=> K₁=

. Так как KC ║ AB =>

K₂= K₁ =

и KC проходит через точку C (3;1/2) =>

- это уравнение KC

4) Внутренний угол B – это угол между прямыми AB и BC.

По формуле:

;

Так как BC:

;

2.2 Задание для практической работы № 4

Даны координаты вершин треугольника ABC. Сделать чертеж. Составить:

Уравнения сторон треугольника;
Длину высоты AF;
Уравнение медианы BM;
Уравнение средней линии, параллельной стороне AC;
Внутренний угол B.

Вариант № 1	A(-8;-2), B(2;10), C(4;4)
Вариант № 2	A(-7;-4), B(-5;9), C(3;4)
Вариант № 3	A(-5;-2), B(-2;7), C(5;3)
Вариант № 4	A(-6;3), B(7;-3), C(2;-4)
Вариант № 5	A(10;-2), B(-3;7), C(4;-5)
Вариант № 6	A(8;-3), B(4;-10), C(5;7)
Вариант № 7	A(5;-8), B(-6;9), C(7;9)
Вариант № 8	A(-6;-5), B(8;2), C(-1;4)
Вариант № 9	A(-3;-4), B(5;7), C(7;-3)
Вариант № 10	A(-6;-2), B(-2;8), C(3;-5)

Приложение 1
Министерство образования Красноярского края

краевое государственное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

«Красноярский аграрный техникум»

Самостоятельная работа

по дисциплине: «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

ВЫПОЛНИЛ:

студент группы (указать группу)

Фамилия, имя (в Род.п.)

ПРОВЕРИЛ:

преподаватель Григорьева Т.Л.

Красноярск 20__

Список литературы

Апанасов П. Т., Орлов М. И. Сборник задач по математике: Учеб. пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1987. – 303 с.
Богомолов Н. В. Математика: учеб. для ссузов. – М.: Дрофа, 2006. – 395с.
Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие. – М.: Наука., 1990 – 547 с.
Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие. – 2-е изд. – М.: Наука., 1990 – 576 с.
Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2ч.]. Ч.1. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288с.
Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2ч.]. Ч.2. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288с.
Шипачев В. С. Математический анализ. Теория и практика: учеб. пособие для вузов. – М.: М, 2006. – 349с.
http://www.fipi.ru/ Федеральный институт педагогических измерений

Поделиться в соцсетях

	«соликамский педагогический колледж имени А. П. Раменского» Методические рекомендации предназначены для студентов педагогического колледжа, изучающих мдк 04. 01. Теоретические и методические...		Что такое числовая окружность? Зачетная работа по дисциплине «Математика: Алгебра и начала математического анализа. Геометрия»
	Методические рекомендации к организации самостоятельной работы студентов... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Армавирская государственная...		Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов... Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов: учебно-метод пособие/В. С. Ширманов, В. Н. Волков, Е....
	Разработка урока по дисциплине «Математика: алгебра и начала анализа;...		Рабочая программа по предмету «Алгебра и начала анализа» Также использованы программы по алгебре и началам математического анализа (Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы:...
	Пояснительная записка рабочая программа учебной дисциплины «Математика:... Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области		Пояснительная записка рабочая программа учебной дисциплины «Математика:... Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области
	Методические рекомендации по математике Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса		Самостоятельная работа студентов по дисциплине «Дискретная математика» Дискретная математика: методические указания для самостоятельной работы студента направления 230100. 62 «Информатика и вычислительная...

Методические рекомендации для выполнения самостоятельной работы по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»

Похожие: