«Систематизация знаний по геометрии в свете подготовки к егэ и огэ»
| Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №3 г. Курганинска Краснодарского края «Систематизация знаний по геометрии в свете подготовки к ЕГЭ и ОГЭ» Автор: Учитель математики МАОУ СОШ №3 Короткова Ася Эдиковна Курганинск, 2014 год Алгебра и геометрия – равноправные разделы математики, и подготовка к ЕГЭ и ОГЭ 2014 года не возможна без изучения одного из них. С каждым годом геометрическим заданиям отводится все больше места в контрольно-измерительных материалах, поэтому систематизации знаний и отработке навыков решения задач по этому предмету следует уделить особое внимание. К сожалению, для школьников наиболее тяжелой была и остается геометрия. Учитывая тот факт, что количество геометрических заданий в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ и ОГЭ по математике с каждым годом только увеличивается, это настоящая проблема. Часто при решении различных заданий КИМов геометрического содержания повышенного и высокого уровня сложности геометрическим методом, мы приходим к методу ключевого треугольника.
Введение Цель данной работы - систематизировать и обобщить материал по теме «Треугольники», изучаемый в разные годы обучения, показать учащимся его целостность, взаимосвязь треугольников со свойствами других геометрических фигур. Этот материал можно использовать в ходе подготовки к экзамену по математике и в 9 и в 11 классе. Работа состоит из двух частей:
Занятия можно провести отдельно по каждому пункту (в приложениях имеются презентации, разноуровневые задания).
 1º. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ( центр описанной окружности) Повторение по этой теме следует начать с характеристического свойства точек, лежащих на серединном перпендикуляре к отрезку. Затем повторить определение вписанной и описанной окружности. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника. При повторении теоремы об окружности, описанной около треугольника, весьма полезно привести ее доказательство, что подготавливает учащихся к решению задания С4. Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Далее следует отметить, что центр описанной окружности внутри треугольника, если треугольник остроугольный, вне треугольника, если он тупоугольный, середина гипотенузы, если он прямоугольный.
Выводы Обозначим углы треугольника АВС буквами α, β, γ, а стороны а, в, с. 
c= 2R sin γ => с/ sin γ=2R (теорема синусов). Аналогично доказывается а / sin α =2R, b/ sin β =2R. Таким образом: а / sin α = b/ sin β = с/ sin γ=2R – теорема синусов. Замечание. Данная конструкция рассматривает острый угол С. Можно предложить школьникам рассмотреть конструкцию для тупого угла С.
Пример. Пусть А1, В1, С1 – середины сторон ∆АВС ВС, АС, АВ соответственно. Показать, что окружности, описанные около треугольников АВ1С1, А1В1С, А1ВС1 пересекаются в одной точке. Причем эта точка центр описанной около ∆АВС окружности.
Обобщение. Если на сторонах ∆АВС АС, ВС, АС взять произвольные точки А1, В1, С1, то окружности описанные около треугольников АВ1С1, А1В1С, А1ВС1 пересекаются в одной точке. Выяснить, чем является эта точка для ∆АВС. (Этот материал можно предложить сильным учащимся в качестве проекта). 2º. Точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности)
 Выводы.
Дан ∆АВС и точки А1, В1, С1 – точки касания вписанной окружности в треугольник АВС. Доказать, что ∆А1В1С1 всегда остроугольный.
а=х+у (1), b= х+z (2), с= х+у (3). (1) + (2) – (3), то получим: а+b-с= 2z => z= (а + b - c)/2. Аналогично: х= (b + c - а)/2, у = (а + с – b)/2.
3º. Точка пересечения медиан треугольника
4º. Точка пересечения высот треугольника
Обобщение этого материала можно начать с понятия равновеликих фигур, заострить внимание на равновеликих треугольниках. Если а||b , то равновеликие Δ АСВ, Δ АDB, Δ AFB с основание АВ, а высоты, проведенные к АВ равны (как расстояния между параллельными прямыми). Равновеликие треугольники:
Задача.
а) Повторить формулы площади треугольника, свойства параллельных прямых, определение равновеликих треугольников. б) Решение. Треугольники АСК и АСМ равновеликие (имеют общую сторону и равные высоты, проведенные к этой стороне), следовательно, SАСК = SAСМ = ½ АС ·СМ· sin 60º = ½· 8 ·2·√3/2 = 4√3.
Утверждение. Площади треугольников АОВ и DOС, образованных при пересечении диагоналей трапеции АС и ВD в точке О, равны.
Закрепление. Рассмотреть на уроке:
Задача для самостоятельного решения.  Следует рассмотреть на уроке следствия из приведенного утверждения. Следствие 1: диагонали параллелограмма делят его на 4 равновеликих треугольника.
Следствие 2.
Следствие 3.
Далее, следует повторить теорему о точке пересечения медиан.
Задача. Медианы треугольника ВСЕ ВК и ЕМ пересекаются в точке О. Найти SMOK:SCMK.
Задача. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 и 9. Найдите площадь трапеции. Решение.
Задачи для самостоятельного решения. 1) Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найти отношение площади треугольника АВК и площади четырехугольника КРСМ. 2) В трапеции АВСD отношение длин оснований АD и ВС равно 3. Диагонали трапеции пересекаются в точке О, площадь треугольника АОВ равна 6. Найти площадь трапеции.
Задача. В параллелограмме АВСD АВ=4см, ВС=6см, ÐА=30°. Биссектриса угла В пересекает диагональ АС в точке К. Найдите площадь треугольника АВК.
Задача для самостоятельного решения. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит ее в отношении 5:8. Найдите длину основания данного треугольника, если радиус его вписанной окружности равен 2. Приложение №1 Список используемой литературы
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АОВ – центральный => 
Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна ¼ площади исходного треугольника. 
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении два к одному, считая от вершины.
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. 
Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение стороны треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. 
SABC = 
SABCD =Поделиться в соцсетях
Похожие:
 | Огэ, разработал план-график подготовки школы к огэ, который был обсужден на методических объединениях и утвержден директором школы.... | | Здесь публикуется много материалов о егэ и тестовых технологиях в образовании в целом, в том числе есть демо-версии егэ с 2004 г.... |
| Предпрофильный курс «Систематизация знаний и практикум по решению уравнений и задач» предназначен для учеников 9 классов |  | Цели урока: образовательные – систематизация уже имеющихся знаний по формулам тригонометрии, отработка навыков применения формул... |
| ... | | Контрольные измерительные материалы для подготовки к егэ (ким), федеральный банк тестовых заданий (фбтз) |
| Обучающие цели: повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Свойства логарифмической функции» и их применение.... | | Цель: систематизация и обобщение знаний обучающихся, повышение ответственности обучающихся и педагогов за результаты своего труда,... |
| Ведь никогда до этого ими не выполнялся комплекс действий, имеющих длительную протяженность во времени и направленных на достижение... | | Она и республики, сдают выпускной экзамен по математике в форме егэ. За эти годы мною накоплен определенный опыт по подготовке учащихся... |