Методическая разработка урока математики по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Методическая разработка урока математики по теме «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс. учитель математики МБОУ СОШ №22 г. Балаково Саратовской области ДесятниченкоВалентина Ивановна Аннотация Методическая разработка урока обобщения и систематизации знаний по теме « Решение тригонометрических уравнений». Разработка включает в себя план урока, презентацию к уроку, приложения. Урок разработан для учащихся 10 класса, однако может использоваться и в 11 классе при подготовке учащихся к ЕГЭ. содержание Введение 4 Основная часть 5 I. методическое обоснование темы 5 II.методические рекомендации по проведению урока 5 III. план урока 6 1. цели и задачи урока 6 2. Технологическая карта урока ……………………………………….7-8 3. организационный этап . 9 4.Сообщение темы и цели урока ………………………………………9-10 5.Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний ……………………………………………10-11 6. Актуализация знаний учащихся. 11-14 7. Введение новых знаний 15-19 8. Физкультминутка………………………………………………………..20 9.Самостоятельное применение полученных знаний 20 10. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА (РЕФЛЕКСИЯ) домашнее задание и его инструктаж 21 11. Литература для учащихся 23 12. Литература для учителя……………………………………………….23 13. Приложения 24-26 заключение 27 ВВЕДЕНИЕ. Умения решать уравнения являются одним из показателей уровня математического развития, глубины изучения учебного материала. Тригонометрические уравнения имеют важное значение  в общем ряду всех видов алгебраических уравнений относительно тригонометрических функций неизвестного аргумента. Умение осуществлять поиск решения уравнения способствует формированию математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках . Важную  роль при  решении уравнений  имеет формирование алгоритмического мышления, воспитание умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые . Основная цель – сформировать у учащихся умение решать простейшие тригонометрические уравнения и ознакомить с основными приемами решения тригонометрических уравнений. Тема «Решение тригонометрических уравнений» изучается в 10 классе, в III четверти. На изучение темы отводится 14 часов. В данной методической разработке приводится описание 10-го урока темы. Изучение темы «Решение тригонометрических уравнений » в школьном курсе математики является достаточно актуальным, так как в задании С1 ЕГЭ по математике предлагается решить тригонометрическое уравнение, более того, часто необходимо при решении этих уравнений использовать метод отбора корней. Также на математических олимпиадах в старших классах в тригонометрическом материале представлены именно тригонометрические уравнения. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. Методическое обоснование темы. Урок « Решение тригонометрических уравнений » занимает важное место в систематическом курсе математики 10-го класса, это десятый урок в теме « Решение тригонометрических уравнений и неравенств ». Учащиеся к этому времени знают формулы решения тригонометрических уравнений, умеют решать простейшие тригонометрические уравнения, определяют тип тригонометрического уравнения и знают методы их решения,. Используя уже имеющиеся знания учащихся, учитель развивает представления о тригонометрических уравнения. Методические рекомендации по проведению урока. Анализ материала, посвящённого решению тригонометрических уравнений в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под ред. А.Н.Колмогорова свидетельствует, что различные типы тригонометрических уравнений представлены в пособиях по математике для средней школы. Значит, перед учителем стоит задача - формировать у учащихся умения решать уравнения каждого типа. Поэтому на уроке нужно обратить внимание учащихся на этот аспект. Вначале проверяются формулы решения тригонометрических уравнений с помощью математического диктанта. Для того, чтобы учащиеся могли вспомнить типы уравнений проводится фронтальная беседа, определяются методы их решения. Далее рассматривается новый метод решения уравнения, который и предложен в дифференцированной самостоятельной работе. В задании С1 ЕГЭ по математике надо решить уравнение с дополнительными условиями, поэтому на уроке рассматриваются два таких уравнения. Для улучшения мозгового кровообращения и снятия усталости зрительного анализатора проводится динамическая физкультурная пауза. В конце урока проводится дифференцированная самостоятельная работа по карточкам с последующей проверкой. Итог урока и оценивание результатов работы каждый ученик выполняет самостоятельно, заполнив оценочный лист. Представленная методика проведения урока позволяет с первых минут включить учащихся в активный познавательный процесс. III. План урока Цели и задачи урока. Образовательная программа: Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев : Математика. 5-11 класс / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк .- М. : Дрофа, 2004.- 320 с. Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый/ [А. Н.Колмогоров, А.М. Абрамов , Ю.П. Дудницын и др. ] - М.: Просвещение, 2010 Класс: 10 Тема: Решение тригонометрических уравнений Продолжительность: 45 минут ИКТ: ЭОР Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru), Технологические особенности: для просмотра ЭОР необходимо установить на компьютере следующие программы: Power Point-2007. Методическая цель урока:. активизация познавательной деятельности учащихся, развитие самостоятельности, самоконтроля на уроках математики. Образовательная цель: обобщить и расширить знания учащихся по типам тригонометрических уравнений и способам их решения. Развивающая цель: развитие познавательных умений, логического мышления, творческого подхода к выполнению предложенных заданий Воспитательная цель: воспитание самостоятельности, любознательности, трудолюбия, внимательности. Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний Вид урока: смешанный Оборудование: компьютер, проектор, экран, карточки (Приложение 1,2,3,4,5). Межпредметные связи: с информатикой – умение пользоваться компьютером, создавать презентации; с литературой - притча, высказывание В.Ключевского. Технологическая карта урока математики по теме «Решение тригонометрических уравнений». Десятниченко Валентина Ивановна, учитель математики МБОУ СОШ №22 г. Балаково Саратовской области Дидактическая структура урока Методическая подструктура урока Признаки решения дидактических задач Методы обучения Форма деятельности Методические приемы и их содержание Средства обучения Способы организации деятельности Организационный момент. Вступительное слово учителя.  Информационный  Вступление учителя  Целевая установка  Презентация (эпиграф) Коллективный  Мобилизация учащихся к уроку Сообщение темы и цели урока. Информационно-рецептивный Целевая установка Презентация (индусская притча) Коллективный Создание позитивного эмоционального настроя Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний. Информационно-рецептивный Математический диктант Наводящие вопросы  Презентация Фронтальный Получение ответов на вопросы, взаимопроверка Актуализация знаний учащихся. Репродуктивный Беседа Создание проблемной ситуации  Презентация Индивидуальный, фронтальный, парный Получение ответов на вопросы Введение новых знаний. Физкультминутка Информационно-рецептивный Сообщение Работа у доски Презентация ученика Индивидуальный Усвоение метода оценки Проблемно-исследовательский Сообщение, обсуждение Решение уравнения с дополнительными условиями Презентация ученика Индивидуальный Решение проблемы Самостоятельное применение полученных знаний. Репродуктивный Дифференцированная самостоятельная работа Использование заданий разных типов и разного уровня сложности Карточки с заданиями Индивидуальный, фронтальный Проверка степени сформированности умений и навыков решения уравнений Подведение итогов урока (рефлексия). Домашнее задание. Информационно-рецептивный Объяснение учителя Составление предложений. Учебник, дополнительная литература Индивидуальный, фронтальный Проверка правильности решения на следующем уроке № Этап урока Слайды Деятельность учителя Деятельность ученика Время (в мин.) 1 1 Организационный момент. Вступительное слово учителя (Презентация, слайд 2) Проверка готовности класса к уроку Мотивация деятельности. Наш урок пройдёт под девизом «Наука есть не только знание, но и сознание, т.е. умение пользоваться знанием как следует» (слайд 2) В. Ключевский Подготавливаются к уроку. Записывают в тетради дату проведения урока. 1мин 2 Сообщение темы и цели урока (Презентация, слайд 3) Тема нашего урока «Решение тригонометрических уравнений». Сегодня на уроке обобщим и расширим знания по типам тригонометрических уравнений и способам их решения. Послушайте индусскую притчу: Магараджа выбирал себе министра. Он объявил, что возьмёт того, кто пройдёт по стене вокруг города с кувшином, доверху наполненным молоком, и не прольёт ни капли. Многие ходили, но по пути их отвлекали, и они проливали молоко. Но вот пошёл один. Вокруг него кричали, стреляли. Он не пролил молоко. «Ты слышал крики, выстрелы?» - спросил его потом Магараджа. - «Нет, повелитель». Не слышать и не видеть ничего постороннего я, вам, желаю при выполнении математического диктанта. Ученики внимательно слушают учителя 1 мин 3 Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний. (Презентация, слайд 4,5) Математический диктант Проводит фронтальный опрос класса. 1)Записать формулу корней уравнения: sin x = a (cos x = a) 2) Записать частные случаи решения уравнения: cos x = a ( sin x = a) 3) 1вариант. Записать формулу корней уравнения tg x = a 3) 2вариант. При каких значениях а уравнения sin x = a; cos x = a не имеют решений 4). Решите уравнение: sin x = 0 (cos x = - 1) К доске приглашаются два учащихся из класса для выполнения задания ( за закрытой доской). Остальные работают на листах опроса, взаимопроверка. (Приложение №1) 5мин 4 Актуализация знаний учащихся (Презентация, слайд 6) (Презентация, слайд 7) 1. Назовите известные вам типы тригонометрических уравнений? 2. Среди уравнений (1-12), (карточки, приложение №2) 2sin2x + cos2x = =5sin x cos x sin26x + sin24x = 1 cos x × sin 7x = = cos 3x × sin 5x 2sin2x - 3sin x + 1 = = 0 sin2x + 9 cos2x = = 5sin 2x sin x + sin 5x + + cos x + cos 5x = 0 cos2x + 6 sin x – 6 = = 0 sin x - sin 2x + + sin 3x - sin 4x = 0 9) 4sin2x – 3 sin x cos x + +5cos2x = 3 10) sin2x - sin2x = =cos2x 11)sin x + cos x = 0 12)3sin x + 4cos x = 5 выбрать те, которые решаются: а) приведением к квадратному относительно sin x или cos x; б) как однородные ; в) понижением степени; г) с помощью формул преобразования суммы в произведение и произведения в сумму ; д) с помощью универсальной подстановки ; е) методом введения вспомогательного аргумента . Положите тетради рядом и проверьте вместе с товарищем по парте ответы. Ответы учащихся: уравнения, приводимые к квадратному относительно sin x или cos x; однородные; уравнения, которые решаются с помощью универсальной подстановки; методом введения вспомогательного аргумента. Записывают ответы в тетрадях а) 4;7 б) 1; 5; 9; 10; 11 в) 2 г) 3; 6; 8 д) 12 е) 12 Проверяют ответы парами. 8 мин (Презентация, слайд 8) Вопросы учителя: 1)Названия типов уравнений подсказывают нам способы их решения, кроме одного – это однородное уравнение. Какое уравнение называется однородным и как его решать? 2)В чём недостаток универсальной подстановки? Ответы: 1)Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным. Его можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. если мы в данное уравнение подставим cos x = 0, то получим, что sin x = 0, что невозможно, т.к. sin2x + cos2x = 1 2) Происходит потеря корней) 5 Введение новых знаний (Презентация, слайды 9-17) О новом методе решения уравнения расскажет… (1 ученик) Иногда надо решить тригонометрическое уравнение с дополнительными условиями. Индивидуальные задания покажут вам… ( два ученика) Метод оценки заключается в следующем: надо оценить левую и правую части уравнения (предварительно упростив, если возможно) и найти такое значение переменной, при котором возможно равенство, перейдя к равносильной системе. Если то f(x) = g(x) при f(x) = с, g(x) = с Ученики делают записи в тетрадях. Решить уравнение: sin = x2 – 2x + 2 Оценим левую и правую части уравнения | sin | £ 1 x2 – 2x + 2 = (x2 – 2x +1) + 1 = (x - 1)2 + 1 ³ 1 Равенство обеих частей уравнения, выполняется при Подставим x = 1 во 2-ое уравнение sin = 1 верно x=1 является решение системы. Ответ: 1. Ученики делают записи в тетрадях. 1) Найти количество корней уравнения 2sin2x + sin 2х = =2 cos2x – cos 2х удовлетворяющих неравенству 8 х2 – 65 pх + 8 p2 £ 0 Решим уравнение: 2 sin2x + sin 2х = =2 cos2x – cos 2х 1 - cos 2х + sin 2х = =1 + cos 2х - cos 2х - cos 2х + sin 2х = 0 / : cos 2х ¹ 0 tg 2x – 1 = 0 2x = + pk, kÎ Z x = + , kÎ Z Решим неравенство: 8x2 – 65 pх + 8 p2 £ 0 8x2 – 65 pх + 8 p2 = 0 D= (– 65 p)2 – 4 × 8 × 8p2 = 4225p2 - 256p2 = 3969p2 = (63p)2 x1 = x2= xÎ [; 8 p] Из корней тригонометрического уравнения выберем те, которые принадлежат отрезку [; 8 p]. £ + k £ 8 p , kÎ Z 0 £ k £ , kÎ Z 0 £ k £ 15 kÎ Z, k=0; 1, … 15 (16 корней) Ученики делают записи в тетрадях. 2)Найдите все решения уравнения cos2х + sin2x = cos x, принадлежащие [- p; p]. cos2x - sin2x + sin2x - -cos х = 0 cos х (cos х – 1) = 0 x = + pk, kÎ Z х = 2pn, nÎ Z 1) - p £ + pk £ p, kÎ Z £ pk £ , kÎ Z £ k £ k = - 1; 0 x = ; x = - p = - 2) - p £ 2pn £ p, nÎ Z - £ n £ n=0 x = 2p × 0 = 0 Ответ: - ; 0; . 14 мин 6 Физкультминутка ФМ для улучшения мозгового кровообращения I. И.п. — сидя на стуле. 1 — голову наклонить вправо; 2 — и.п.; 3 — голову наклонить влево; 4 — и.п.; 5 — голову наклонить вперед, плечи не поднимать; 6 — и.п. Повторить 3-4 раза. Темп медленный. II. И.п. — сидя, руки на поясе. 1 — поворот головы направо; 2 — и.п.; 3 — поворот головы налево; 4 — и.п. Повторить 4-5 раз. Темп медленный. Повторяют движения ФМ 2мин 7 Самостоятельное применение полученных знаний (Презентация, слайд 18) Мы с вами рассмотрели основные типы тригонометрических уравнений. А теперь вам необходимо выполнить самостоятельную работу (10 минут).(Приложение №3) В карточках 3 уравнения, из трёх вам необходимо выбрать 2-а и решить их. После 10 минут проверить ответы. Выполняют самостоятельную работу в тетрадях. 11 мин 8 Подведение итогов урока (рефлексия) Домашнее задание. Каждому учащемуся раздаются листочки с таблицей для последующего заполнения. (приложение №4) Оцени свою работу на уроке. Заполни оценочный лист (приложение № 5) Казалось бы, рассмотрены основные типы тригонометрических уравнений, но это не значит, что, зная их, можно решить любое уравнение. Каждое задание требует творческого подхода. Например: к какому типу относится это уравнение 5 sin 11x + 24 cos 17x = =29 Не можете ответить на этот вопрос, поэтому вам его надо решить дома, пользуясь дополнительной литературой. Отвечают на вопросы. Оценивают свою работу. Записывают домашнее задание в тетрадь. 3 мин Литература для учащихся 1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый/ [А. Н.Колмогоров, А.М. Абрамов , Ю.П. Дудницын и др. ] - М.: Просвещение, 2010 Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения./ С.Н. Олехник.: Москва, «Дрофа», 2001-189с. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С1 / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2010. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса     /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2006. Литература для учителя 1. Аджиева А. Тригонометрические уравнения // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33, 2001г. 2.Гилемханов Р.Г. Освободимся от лишней работы (при решении однородных триг.уравнений) //Математика в школе. 2000. № 10. С.9 3.  Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения //Математика в школе. 1995. № 2. С.23-33 4.  Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ) //Математика в школе. № 3, С.18-27. 5. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый/ [А. Н.Колмогоров, А.М. Абрамов , Ю.П. Дудницын и др. ] - М.: Просвещение, 2010 6.  Мирошин В. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.// Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 17, 2006г. 7.  Мордкович А.Г. Беседы с учителем. М.: ООО “Издательский дом “ОНИКС 21 век”:ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005”. 8.  Орлова Т. Решение однородных тригонометрических уравнений: Конкурс “Я иду на урок” //Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 48, 1999г. 9. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений //Математика в школе. 2004. № 1. С. 24-26. 10.  Шабунин М. Тригонометрические уравнения. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 12,13, 1995г. 11. Филатов В.Г. О потере корней при решении тригонометрических уравнений //Математика в школе. 1991. №2. С.57-59. 12.  Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях //Математика в школе. 2004. №1. С.20-24. Приложение №1. Лист опроса Фамилия Имя 1 вариант ответ За верный ответ 1 балл 1 Записать формулу корней уравнения sin x = a 2 Записать частные случаи решения уравнения: cos x = a 3 Записать формулу корней уравнения tg x = a 4 Решите уравнение sin x = 0 Фамилия Имя 2 вариант ответ За верный ответ 1 балл 1 Записать формулу корней уравнения cos x = a 2 Записать частные случаи решения уравнения: sin x = a 3 При каких значениях а уравнения sin x = a; cos x = a не имеют решений 4 Решите уравнение cos x = - 1 Приложение №2 Типы уравнений 2sin2x + cos2x = 5sin x cos x sin26x + sin24x = 1 cos x × sin 7x = cos 3x × sin 5x 2sin2x - 3sin x + 1 = 0 sin2x + 9 cos2x = 5sin 2x sin x + sin 5x + cos x + cos 5x = 0 cos2x + 6 sin x – 6 = 0 sin x - sin 2x + sin 3x - sin 4x = 0 4sin2x – 3 sin x cos x + 5cos2x = 3 sin2x - sin2x = cos2x sin x + cos x = 0 3sin x + 4cos x = 5 Приложение №3 1 вариант 4sin2x – 4sinx +1 = 0 sin 2х = 2 sin2x sin х = x2 + 2x +2 2 вариант 4cos2x + 4cos x + 1 = 0 2sin2x - sin 2х = 0 cos x = x2 - 2x +2 Приложение №4 Продолжи предложение 1. На уроке я работал                               активно/пассивно 2. Своей работой на уроке я                    доволен/не доволен 3. Урок мне показался                              коротким/длинным 4. За урок я                                                 не устал/устал 5. Моё настроение                                   стало лучше/стало хуже 6. Материал урока мне был                    понятен/ не понятен полезен/бесполезен интересен/скучен 7. Домашнее задание мне кажется                                                     лёгким/трудным                                                                      интересно/не интересно Приложение №5 Оценочный лист № этапа Вид работы Способ проверки и оценивания Количество баллов, оценка 1 Математический диктант. Взаимопроверка ( 4 балла) 2 Типы уравнений Учитель ( 6 баллов) 3 Устные ответы Правильный ответ (1 балл), выставляет ученик самостоятельно 3 Индивидуальные задания Учитель (за правильное решение 2 балла) 4 Самостоятельная работа Самопроверка (3 балла) Итого: От 15 баллов и выше-«5» От 12 баллов до 15 баллов-«4» От 9 баллов до 12 баллов –«3» ЗАКЛЮЧЕНИЕ Методическая разработка урока соответствует содержанию программы, целям и поставленным задачам урока. Данный урок способствует формированию знаний о тригонометрических уравнениях. На уроке развиваются и отрабатываются умения определять тип и решать тригонометрические уравнения. С первых минут ученики активно включаются в диалог с учителем. На третьем, четвертом этапе проверяются ранее усвоенные знания, которые служат основой для формирования новых знаний. На пятом этапе происходит формирование основных знаний по теме. На последних этапах подводятся итоги обучения в виде фронтальной проверки знаний посредством дифференцированной самостоятельной работы, что помогает учителю и ученикам увидеть типичные ошибки, осмыслить тему при коллективном характере работы. На уроке реализуются принципы: доступности, наглядности, соблюдается принцип систематичности и последовательности формировании знаний и умений учащихся по данной теме. Применение элементов исследовательской деятельности позволяет решить проблему активизации познавательного интереса учащихся и дифференцированного оценивания.

Похожие:

	Методическая разработка открытого урока по математике на тему: «Решение... Место выполнения работы: гапоу со «Екатеринбургский экономико-технологический колледж», г. Екатеринбург		Методическая разработка урока математики Данная методическая разработка урока математики выполнена для обучающихся 2 курса политехнического техникума по теме «Наибольшее...
	Методическая разработка урока по теме: «Показательные уравнения.... Тема занятия: «Показательные уравнения. Решение простейших уравнений и сводящихся к ним показательных уравнений»		Разработка урока по дисциплине «Математика: алгебра и начала анализа;...
	Урок обобщения и систематизации знаний по теме: «Решение тригонометрических уравнений» Название работы: «Урок обобщения и систематизации знаний по теме: «Решение тригонометрических уравнений»		Методическая разработка урока на тему: Решение показательных уравнений,... Отработка умений и навыков при решении показательных уравнений, приводимых к квадратным
	Разработка урока учителя математики мбу гимназии №35 Образовательные: обобщить, систематизировать знания и умения учащихся по применению методов решения тригонометрических уравнений,...		Урока: Образовательные «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов егэ
	Методическая разработка урока по теме «Степенная функция» Выполнена Ивановой Натальей Константиновной, учителем математики гбоу сош №401 Колпинского района Санкт Петербурга		Разработка урока по теме: «Решение неполных квадратных уравнений» Французский писатель xixстолетия Анатоль Франс однажды заметил «Учиться можно только весело…Чтобы переваривать знания, надо поглощать...